Problemele etapelor


«Articolele din Problemele etapelor

Ediția a IV-a - Problema etapei 1

Data: 1 octombrie 2012  |  3 comentarii

Problema Etapei este în general o problemă cu grad înalt de difi cultate, dar tipică și exemplară, fără a cere tehnici speciale de rezolvare, și deci abordabilă indiferent de cunoștințele posedate. Problema Etapei nu este neapărat originală, dar nu este larg cunoscută. Propuneri bine cântărite pentru viitoare Probleme ale Etapei sunt binevenite (prin intermediul resursei Forum). Soluțiile remarcabile pot fi selecționate de către administrator pentru a fi prezentate împreună cu soluția ofi cială (credite de rigoare către autori).

Un Plan Finit Afin

Fie F o familie de submulțimi distincte ale mulțimii {1, 2, ..., n2}, având proprietatea că fiecare submulțime din F are exact n elemente, iar intersecția a oricare două submulțimi diferite din F are cel mult 1 element. Demonstrați că F are cel mult n2 + n elemente, și dați un astfel de exemplu cu |F| = 12 pentru n = 3.

Autentifică-te pe site pentru a putea lăsa un comentariu.

3 comentarii:

  • Tarkan Yagmuroglu - 12 ianuarie 2013
    Voi face dublă numărare după perechile {a,b} cu a și b din mulțimea {1,2,...,n^2}.
    În total avem n^2(n^2-1)/2 astfel de perechi. Fie k numărul de submulțimi din familie.
    Datorită ipotezei o pereche {a,b} poate face parte din maxim o submulțime a familiei.
    Prin urmare avem în familie maxim kn(n-1)/2 perechi.
    Concluzia reiese imediat din inegalitatea evidentă kn(n-1)/2 <= n^2(n^2-1)/2.
  • andrei ion - 10 noiembrie 2012
    nu o inteleg
  • Tarkan Yagmuroglu - 4 octombrie 2012
    De asemenea se poate face interpretare geometrică și cu planul proiectiv, nu doar cu cel afin, însă acolo apare și dreapta de la infinit.