Problemele etapelor

  • Ediția a VI-a - Problema etapei 5

    Data: 13 februarie 2015  |  Autor: Dan Schwarz

    Triunghi isoscel care spune - "Prezent!"

    Demonstrați că, oricum am alege n\geq 3 dintre vârfurile unui poligon regulat cu 2n-1 laturi, găsim printre ele vârfurile unuitriunghi isoscel (sau echilateral).

  • Ediția a VI-a - Problema etapei 2

    Data: 18 decembrie 2014  |  Autor: Dan Schwarz

    Triplete "Chevron"

     5 companii aeriene operează într-o țară care are 36 de orașe. Între oricare două orașe traficul este deservit de exact una dintre companii. Dacă aceeași companie operează între orașele A−B și B−C, spunem că tripletul A−B−C este un "chevron" (tripletul C−B−A este considerat a fi același "chevron").
     Determinați cea mai mare valoare posibilă k astfel încât, indiferent cum operează companiile, se formează cel puțin k "chevroane".

    © Etapa 03 - Ediția a VI-a (Olimpiadă Turcia)

  • Ediția a VI-a - Problema etapei 1

    Data: 15 octombrie 2014  |  Autor: Dan Schwarz

    Numere "Frumoase"

    Un număr întreg strict pozitiv n este numit frumos dacă poate fi reprezentat sub forma n=\frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}, unde x, y sunt numere întregi strict pozitive distincte.

    Caracterizați aceste numere; arătați ca 2014 este produsul dintre un număr frumos și unul urât;demonstrați că produsul a două numere urâte este urât.

    © Etapa 01 - Ediția a VI-a (Dan Schwarz & Olimpiadă Indonezia)

  • Ediția a V-a - Problema etapei 1

    Data: 10 octombrie 2013  |  Autor: M. Becheanu

    O Fracţie cu Valori Întregi

    Găsiti toate valorile întregi pe care le poate lua expresia \frac{a^2+b^2+1}{ab-1}, unde a, b sunt numere întregi pozitive, nu ambele egale cu 1.

  • Ediția a V-a - Problema etapei 4

    Data: 16 ianuarie 2014  |  Autor: ***

    Un Polinom ”Exponențial” !?!

    Demonstrați că pentru orice număr natural nenul n există un unic polinom P_n(x) de grad n astfel încât P_n(k)=2^{k} pentru k=0,1,\ldots,n; și apoi determinați valoarea lui P_n(n+1).

  • Ediția a V-a - Problema etapei 3

    Data: 2 decembrie 2013  |  Autor: Dan Schwarz

    O Inegalitate "Trigonometrică"?

    Fie n\geq 1 număr întreg, şi fie \theta_1, \theta_2, ..., \theta_n numere reale. Demonstraţi că...

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 5

    Data: 13 februarie 2012  |  Autor: BIEBERBACH (1918)  |  1 comentariu

    O Inegalitate Izodiametrică

    Fiind dat un poligon convex de arie cel puțin \frac{\pi}{4}, demonstrați că măcar o diagonală a lui este mai lungă decât 1.

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 4

    Data: 16 ianuarie 2012  |  Autor: ***

    Mere și pere

    Fiind date 2n lăzi conținând mere și/sau pere (în orice raport de greutăți), demonstrați că putem totdeauna alege n+1 dintre lăzi, astfel încât greutatea merelor din ele să fie cel puțin jumătate din greutatea totală de mere, și în același timp greutatea perelor din ele să fie cel puțin jumătate din greutatea totală de pere.

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 1

    Data: 27 septembrie 2011  |  2 comentarii

    Multimi Finite și Infinite

    Fie \mathbb{N}^{2}=\left \{ \left ( x,y \right )\mid x,y=0,1,... \right \}. Definim \left ( x,y \right )\preceq \left ( x',y' \right ) dacă x\leq x' şi y\leq y'.

    a) Demonstraţi că pentru orice număr natural ...
    b) Demonstraţi că orice submulţime ...

  • Ediția a IV-a - Problema etapei 3

    Data: 21 decembrie 2012  |  1 comentariu

    Determinaţi cea mai mică valoare a lui m \in \mathbb{R}_{+}^{*} pentru care, oricum ar fi alese numerele complexe...

  • Ediția a V-a - Problema etapei 2

    Data: 6 noiembrie 2013

    Cifrele unui Număr Iraţional

    Fie x=0,d_{1}d_{2}...d_{n}... un număr iraţional subunitar. Pentru orice k\in \mathbb{N}^{*} notăm cu p(k) numărul de secvenţe distincte formate din k cifre contigue d_{m+1}d_{m+2}...d_{m+k} din reprezentarea lui x. Demonstraţi că...

  • Ediția a IV-a - Problema etapei 2

    Data: 12 noiembrie 2012  |  2 comentarii

     

    Fie A o mulţime cu |A|=n\geq 2 elemente şi fie \mathcal{F} o familie de submulţimi ...

     

  • Ediția a IV-a - Problema etapei 1

    Data: 1 octombrie 2012  |  3 comentarii

    Un Plan Finit Afin

    Fie F o familie de submulțimi distincte ale mulțimii {1, 2, ..., n2}, având proprietatea că fiecare submulțime din F are exact n elemente, iar intersecția a oricare două submulțimi diferite din F are cel mult 1 element. Demonstrați că F are ...

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 7

    Data: 21 mai 2012  |  Autor: Dan Schwarz

    Spații Între Elemente

    Fie n un număr natural nenul, și fie un număr real 1< \alpha < 2. Notăm Q_{n}=\left \{ 1, \alpha ,\alpha ^{2},...,\alpha ^{^{n}} \right \}, iar pentru fiecare ...

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 6

    Data: 15 martie 2012  |  Autor: China Girls  |  1 comentariu

    Bile în Tot Atâtea Cutii

    În n cutii, numerotate C_{1}, C_{2},..., C_{k-1}, C_{k}, C_{k+1},..., C_{n-1}, C_{n}, se găsesc în total n bile. Avem voie să facem următoarele operații

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 3

    Data: 5 decembrie 2011  |  Autor: Generalizare APMO

    Polinoame cu o Proprietate Irațională

    Determinati toate polinoamele P\left ( X \right )  cu coeficienți reali, astfel încât pentru orice număr irațional \alpha, și P\left ( \alpha \right ) să fie irațional, adică P\left ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right )\subseteq \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.

  • Ediţia a III-a - Problema etapei 2

    Data: 14 noiembrie 2011  |  Autor: CONCURS POLONIA

    Un Sistem de Inegalități

    Fie două seturi de numere reale ne-negative a_{1}, a_{2},...,a_{7} și b_{1}, b_{2},...,b_{7}  având proprietatea a_{k}+b_{k}\leq pentru toți 1\leq k\leq 7.

    Demonstrați că ...