Problemele etapelor

  • Problema etapei 5

    Data: 13 februarie 2012  |  Autor: BIEBERBACH (1918)

    O inegalitate izodiametrică

    Fiind dat un poligon convex de arie cel puțin \frac{\pi}{4}, demonstrați că măcar o diagonală a lui este mai lungă decât 1.

  • Problema etapei 4

    Data: 16 ianuarie 2012  |  Autor: ***

    Mere și pere

    Fiind date 2n lăzi conținând mere și/sau pere (în orice raport de greutăți), demonstrați că putem totdeauna alege n+1 dintre lăzi, astfel încât greutatea merelor din ele să fie cel puțin jumătate din greutatea totală de mere, și în același timp greutatea perelor din ele să fie cel puțin jumătate din greutatea totală de pere.

  • Problema etapei 3

    Data: 5 decembrie 2011  |  Autor: Generalizare APMO

    Polinoame cu o Proprietate Irațională

    Determinati toate polinoamele P\left ( X \right )  cu coeficienți reali, astfel încât pentru orice număr irațional \alpha, și P\left ( \alpha \right ) să fie irațional, adică P\left ( \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q} \right )\subseteq \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}.

  • Problema etapei 2

    Data: 14 noiembrie 2011  |  Autor: CONCURS POLONIA

    Un Sistem de Inegalități

    Fie două seturi de numere reale ne-negative a_{1}, a_{2},...,a_{7} și b_{1}, b_{2},...,b_{7}  având proprietatea a_{k}+b_{k}\leq pentru toți 1\leq k\leq 7.

    Demonstrați că ...

  • Problema etapei 1

    Data: 27 septembrie 2011  |  2 comentarii

    Multimi Finite și Infinite

    Fie \mathbb{N}^{2}=\left \{ \left ( x,y \right )\mid x,y=0,1,... \right \}. Definim \left ( x,y \right )\preceq \left ( x',y' \right ) dacă x\leq x' şi y\leq y'.

    a) Demonstraţi că pentru orice număr natural ...
    b) Demonstraţi că orice submulţime ...