Numerele complexe au apărut în Renaştere, sub numele de cantităţi imposibile, din necesitatea, la început formală, de a rezolva ecuaţia x pătrat egal minus unu. Să putem, deci, extrage rădăcina pătrată a oricărui număr, nu numai a celor pozitive. Rădăcina pătrată a lui minus unu a fost notată cu i şi numită unitate imaginară. Până la urmă, s-a dovedit că se pot face mult mai multe lucruri cu ele: se pot extrage orice fel de rădăcini, de ordinul al treilea, al zecelea, ba chiar rădăcina de ordinul pi sau chiar 1 plus i, după cum a arătat Euler. Mai mult, aceste numere imaginare s-au dovedit intim legate de geometria planului euclidian: un număr complex se poate reprezenta ca un punct în plan, înmulţirea numerelor complexe corespunde unei rotaţii în jurul originii planului, legile trigonometriei elementare se pot exprima şi ele cu ajutorul numerelor complexe. Ba chiar, azi orice inginer ştie că numerele acestea sunt foarte utile în studiul circuitelor electrice. Iar mai nou, faimoasele mulţimi fractale se definesc pornind de la nişte transformări cu numere complexe.

Dar, una peste alta, numerele complexe respectă cumva tiparul numerelor reale: formează un corp comutativ. Ce se pierde e ordinea: nu se mai poate defini coerent cu adunarea şi înmulţirea ce înseamnă ca un număr complex să fie mai mare decât altul.

Cel care a reprezentat pentru prima oară geometric numerele complexe, ca puncte în plan, a fost sir William Rowan Hamilton, inginer din Dublin. Ani de zile după aceea a încercat să construiască un sistem de numere asemănător, reprezentabil prin punctele spaţiului tridimensional. Până în ziua de 16 octombrie 1843 când, trecând podul Broome din Dublin, a înţeles într-o străfulgerare că nu în spaţiul tridimensional, ci în cel patru-dimensional trebuie să lucreze. Şi a inventat cuaternionii, numere în care intră patru unităţi imaginare, i, j, k, sau, dacă vreţi perechi de numere complexe, aşa cum şi acestea sunt perechi de numere reale. Atât de fericit a fost Hamilton când a făcut această descoperire, încât s-a întors şi a săpat cu cuţitul în piatră („oricât de nefilozofic a fost acest impuls”, cum i-a zis fiului său) legile de înmulţire ale unităţilor imaginare cuaternionice, inscripţie ce poate fi văzută şi azi. Algebra cuaternionilor e mai complicată decât cea a numerelor complexe. În primul rând, nu e comutativă. Şi a fost un mare curaj să inventeze nişte numere care nu se înmulţesc comutativ, a trebuit să treacă o barieră psihologică. Totuşi e şi ea foarte legată de geometrie: înmulţirea cuaternionilor corespunde produsului vectorial din spaţiul euclidian. Iar azi, ştim că noţiuni fizice ca spinul particulelor de exemplu, se pot modela cu ajutorul cuaternionilor şi chiar cu ajutorul unor numere şi mai complicate.

Pe acelaşi model al trecerii de la real la complex şi de la complex la cuaternionic, prin dublare, adică prin formarea de perechi, se poate trece de la cuaternioni la octonioni. Pas făcut de Cayley, tot în secolul al 19-lea. Octonionii au şapte unităţi imaginare, înmulţirea lor nu e nici comutativă, nici asociativă. Dar, ca şi cuaternionii, sânt numai buni pentru modelarea anumitor fenomene fizice, sunt folosiţi în teoriile de câmp şi în teoriile de string.

S-ar zice că putem continua la nesfârşit, tot împerechind noile numere obţinute. Ei bine, nu. O teoremă extrem de profundă a lui Hurwitz spune că, dacă vrem să păstrăm măcar câteva proprietăţi utile şi coerente matematic, singurele algebre bune sunt numerele reale, complexe, cuaternionii şi octonionii.