Aţi auzit, cu siguranţă, despre spaţii cu mai multe dimensiuni. Ştiţi, probabil, că teoria relativităţii restrânse a lui Einstein descrie lumea drept un spaţiu-timp cu 4 dimensiuni. Dar cum să ni le imaginăm şi cum să definim, de fapt, dimensiunea unui obiect?

Intuiţia ne spune că o dreaptă are o singură dimensiune, lungimea, şi tot aşa rămâne dacă ne-o imaginăm îndoită şi răsucită în fel şi chip (gândiţi-vă la un fir de aţă). La fel, o suprafaţă plană, o foaie de hârtie, are două dimensiuni, indiferent câte pliuri i-am face. Mai departe, spaţiul în care trăim, lumea care ne înconjoară, va avea 3 dimensiuni, pentru că avem nevoie de lungime, lăţime şi înălţime ca s-o descriem.

Încercăm deocamdată să descriem dimensiunea ca fiind numărul de variabile independente necesare ca să identificăm complet un obiect. De exemplu, un cerc este descris de o ecuaţie de gradul al doilea în două variabile. Faptul că ele sunt legate printr-o ecuaţie le face să nu mai fie independente. De aceea cercul este un obiect de dimensiune 1. La fel, o sferă e descrisă de o ecuaţie de gradul al doilea în trei variabile; este, deci, un obiect 2-dimensional. Înţelegem că pentru a descrie printr-o formulă o sferă 3-dimensională avem nevoie de 4 variabile legate printr-o formulă. Discuţia aceasta sugerează că dimensiunea ar fi o proprietate sesizabilă numai atunci când privim obiectul în cauză din afară, când îl gândim scufundat într-un mediu ambiant. Nu e de fapt aşa, dimensiunea poate fi definită intrinsec, dar acest lucru s-a înţeles foarte târziu.

Există tentaţia de a înţelege lucrurile într-o manieră cantitativă: un plan e mai bogat, are mai multe puncte decât o dreaptă: ştim din experienţă că, de exemplu, nu putem umple un pătrat cu un fir subţire de elastic, oricum l-am răsuci. Nu e chiar aşa. În 1890, matematicianul italian Giuseppe Peano a construit o curbă continuă care umple perfect un pătrat de latură 1. Iată deci că un obiect 1-dimensional se poate suprapune peste unul 2-dimensional! Rezultatul a şocat, a jignit violent intuiţia. Există fapte matematice care sunt dincolo de intuiţie, de bunul simţ comun.

E deci nevoie de o definiţie formală pentru dimensiune, care să nu ia în calcul numai intuiţia. Primele încercări de definiţie riguroasă apar în 1905, într-un articol al lui Henri Poincaré. Iată cuvintele lui: „Îmi voi fundamenta determinarea numărului dimensiunilor pe noţiunea de tăietură. Să considerăm întâi o curbă închisă, adică un continuum 1-dimensional. Dacă, pe această curbă, luăm orice două puncte prin care convenim să nu mai trecem, curba va fi tăiată în două părţi şi va fi imposibil să trecem dintr-o parte în cealaltă rămânând pe curbă. Să considerăm acum o suprafaţă închisă, un continuum 2-dimensional. Putem exclude de pe suprafaţă unul, două, oricât de multe puncte şi suprafaţa nu va fi tăiată: încă vom putea să ne deplasăm oriunde pe suprafaţă ocolind punctele eliminate. Dar dacă trasăm pe suprafaţă o linie închisă, sau mai multe, şi le considerăm drept tăieturi, suprafaţa va fi tăiată în mai multe părţi.” La fel, spune mai departe Poincaré, ca să împărţim spaţiul 3-dimensional în două regiuni, avem nevoie de un plan 2-dimensional care să le separe. Şi, în general, un continuum are n dimensiuni dacă e posibil să-l împărţim în mai multe regiuni cu ajutorul uneia sau al mai multor tăieturi care sunt continuumuri n-1 dimensionale. Este o definiţie recursivă care nu foloseşte decât proprietăţi intrinsece obiectului.

Acesta a fost punctul de plecare. Combinând aceste idei cu cele ale unui domeniu atunci la început, topologia, către 1920 teoria dimensiunii fusese deja închegată.

Putem adăuga, în încheiere, că definiţia modernă nu mai presupune că dimensiunea unui obiect trebuie să fie în mod necesar un număr întreg. Există şi obiecte cu dimensiune fracţionară, fractalii de exemplu.